梅涅劳斯定理及证明方法
梅涅劳斯定理及证明方法
梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要作用,其具体内容为:
设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有
直线l与三角形的三边相交,有两种情形:
(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的延长线上,如图1;
(2)三个交点均在边的延长线上,如图2.
梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算时,尤为快捷.值得一提的是,其逆定理也成立,可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法.下面给出梅涅劳斯定理的几种精彩证明,证明中仅以图1作为示例.
证法1 平行线法
如图3,过点C作CG∥DF交AB于点G,则
BD/DC=BF/FG,CE/EA=GF/FA,
证法2 共边定理法
如图4,由共边定理知
证法3 共角定理法
如图1,由共角定理知